수학1:1단원(지수함수와 로그함수)

1.지수

 

1)거듭제곱

실수  a를 n번 거듭하여 곱한 것을 a의 n제곱이라고 합니다.

거듭 제곱의 정의와 성질

여기서 m,n이 실수이기만 하면 지수의 법칙이 성립하므로

실수가 아닐 때만 위의 기본적인 법칙이 성립이 안된다고 생각하시면 좋습니다.

 

아래는 알아두면 좋은 지수법칙의 증명에 대한 내용이 있습니다.(알아두면 좋지만 몰라도 상관없는 증명입니다.) 

지수법칙 증명

 

 

 

2)거듭제곱근

실수 a에 대하여 n이 2 이상의 자연수일 때, n제곱하여 a가 되는 수입니다.

거듭제곱근

여기서 주목해야할점 n이 홀수일 때와 짝수 일때의 x의 실근의 개수가 달라지는점, 그 원리입니다.

그외에는 아... 이런게 있구나 라고만 생각하시면 좋을 것 같습니다.

제곱근의 성질

 

여기서는 아.. 거듭제곱근의 성질(사실 별거 없는 성질=당연한 성질)은 m,n이 2이상 자연수인가 아닌가가 중요하구나 라고 생각하지면 좋을 것 같습니다.

 

 

3)지수의 확장과 지수법칙

 

 

정수 지수에대하여

 

유리수 지수에 대하여

실수 질수에 대하여

이 파트에서 중요한것 지수법칙는 m,n이 실수일때 모두 적용 가능하구나......를 알 수 있다는 것이죠!

나머지는 읽어 보시고 넘어가도 좋다고 생각합니다.

 

여기서 기출 문제 하나를 접하고 가볼까요??

2009년 4월 가형 8번문제

이 문제에서는 필요 없지만

제가 지금 까지 말했던게 머였죠?

m,n이 실수일때 지수 법칙이  성립한다.

그러면 위의 A,B,C는 실수겠구나...라는 사실, 조건을 알수 있죠?

저는 수학을 하면서 가장 중요하게 생각하는것은 조건이라고 생각합니다.

왜냐하면 당연하게도 평가원, 수능에서 킬러라고 내는 문제들이 (단지, 제생각이지만) 이러한 조건 하나라도 놓치면 틀리게 만들었기 때문입니다.

그래서 저는 준킬러급정도는 이러한 조건을 여백에 있는 공간에 차곡 차곡 쓰는 습관이 (또는 생각만 하거나) 중요하다가 생각합니다.

 

위의 문제는 풀어보시길 바랍니다.(키워드는 3의 n승으로 비교)

답은 2번입니다.

 

 

 

4)로그의 뜻과 성질

로그

a>0,a=1(x) 이고 b>0이라는  조건만 아시면 되겠습니다.

로그의 성질

 

로그의 성질은 위의 아까 조건만 성립하면 가능하기 때문에 그냥 이런 성질이 있구나 정도만 아시면 충분합니다.

로그의 밑의 변환

지수에 로그가 등장하는 경우

이 성질 로그의 밑의 변환과 지수에 로그가 등장하는 경우는 필수적으로 알아야할 로그의 성질이므로 암기하시길 바랍니다.

 

 

 

5)지수함수의 활용

지수방정식

중요한 내용은 없어요.

지수부등식

• a>1일때, 지수함수는 증가함수이다
• 1>a>0일때, 지수함수는 감소함수이다

라는것만 알고 있으면 됩니다.

 

6)로그함수의 활용

로그방정식

로그부등식

• a>1일때, 로그함수는 증가이다
• 1>a>0일때, 로그함수는 감소함수이다

라는것만 알고있으면 됩니다.

 

 

 

7)지수함수와 로그함수의 뜻과 그래프

지수함수와 뜻과  그래프

 

 

로그함수의 뜻과 그래프

지수함수,로그함수 하면 가장 떠오르는 관계는 무엇일까요?

바로 지수함수와 로그함수는 서로 역함수 관계입니다.

 

역함수를 그래프(기하적)로 해석하면 y=x 대칭입니다.
또한 역함수 관계끼리의 함수가 서로 만나는 점, 즉, 교점은 대게 y=x 위에 존재하게 됩니다.

 

f(x)가 지수함수이고 g(x)가 로그함수이고 서로가 역함수 관계일 때, f(g(x))와 g(f(x))는 무엇일까요?
우선 고1의 역함수를 배울 때, 역함수끼리의 합성함수는 x가 된다는 것을 배웠었죠. 기억하시나요.
f(g(x))=g(f(x))=x라고 배웠었죠.

 

하지만 로그함수와 지수함수는 조금 다릅니다.
왜냐하면 서로 정의역이 다르기 때문이죠.
f(x)가 지수함수이고 g(x)가 로그함수라면
g(f(x))의 정의역은 모든 실수입니다. 즉, f(g(x))=x라는 것이 성립합니다.
반면, f(g(x))라면 로그함수가 먼저 대응되므로 정의역이 x>0가 되므로
f(g(x))=x (x>0)라는 함수입니다.
전혀 다른 함수가 된다는 의미입니다.

 

이를 반영을 가장 많이하는것이 교육청,평가원입니다.

가끔 준킬러급으로 내기 위해 이런 역함수 문제를 출제하기도 합니다.

그러니 때문에 로그, 지수 함수가 나올때 역함수 관련 성질을 이용하는 문제가 아닐 때라는 생각을 첫번째로 생각하시면 좋을것 같습니다.

 

이상으로 마치겠습니다.